Se consideră dreptunghiul MNPQ și punctul D situat pe diagonala NQ. Construim DE perpendicular pe MN, E e pe MN și DF perpendicular pe NP, F e pe NP. Știind că DE este congruent cu DF, arătați că MNPQ este pătrat.

Răspuns:

Din T. Thales

DE⊥MN, MQ⊥MN ⇒ DE║MQ ⇒ ΔNDE ~ ΔNQM

[tex]\dfrac{ND}{NQ} = \dfrac{NE}{MN} \ \ \ (1)[/tex]

DF⊥NP, PQ⊥NP ⇒ DF║PQ ⇒ ΔNDF ~ ΔNQP

[tex]\dfrac{ND}{NQ} = \dfrac{NF}{NP} \ \ \ (2)[/tex]

[tex]Din \ (1) \ si \ (2) \Rightarrow \dfrac{NE}{MN} = \dfrac{NF}{NP} \ \ \ (3)\\[/tex]

DE║MQ, MQ║NP ⇒ DE║NP (tranzitivitatea) ⇒ DE║NF  (4)

DF║PQ, PQ║MN ⇒ DF║MN ⇒ DF║DE  (5)

Din (4), (5), DE≡DF (ipoteză), ∡MNP = 90° ⇒ NEDF pătrat ⇒ NE≡NF   (6)

[tex]Din \ (3) \ si \ (6) \Rightarrow MN \equiv NP\\[/tex]

⇒ MNPQ este pătrat

✍ Reținem:

Teorema lui Thales: În orice triunghi, o paralelă construită la o latură a triunghiului împarte celelalte două laturi, sau prelungirile lor, în segmente proporționale.