Bonjour, de l'aide s'il vous plaît

Alors,

On peut assimiler une casserole (sans sa poignée) de volume V cm^3 à un cylindre métallique de hauteur h cm, dont la base est un disque de rayon r cm. On souhaite minimiser, à volume V constant, la quantité de métal utilisée pour construirela caserole.

1. Démontrer que la surface de métal utilisé est : S(r) = pi*r^2 + (2V/r)
2. Etudier la fonction S sur son ensemble de définition que l'on précisera.
3. Mon

la surface de la casserole  c'est la somme de la surface d'un rectangle  (le tour) et d'un disque  (le fond)  le disque a pour rayon  r   : 

surface = pir² le rectangle a pour côtés  :  h (hauteur)   et   2pir (circonférence)  or  le volume  V=surface x hauteur   donc  

  h = V /surface  = V / pir²

 1)surface du métal = pir² +  V/pir² * 2pir

=  pir² + 2V/r  2)S(r)= pir²  + 2V/r   

 sens de définition  : " r positif" 

 S '(r)  la dérivée  est    2pir  - 2V/r² = 2( pi r^3  - V)/ r²  elle s'annule  pour   V=pir^3    donc  pour   r^3  = V/pi    et    r= ∛ V/pi   et  si V=pir^3   alors   

 pir^3 = h * pir²   donc   r=h

3)la dérivée  s'annule  pour  r=h  et dans ce cas  la surface vaut 

 S(r)= pir² + 2V/r  = pir² + 2pir^3 /r=  pir² + 2pir² =  3pir² 

ou  encore  comme  V=pir²*h    r² = V/pih  et   S(r)= 3pi*V/pih = 3V/h 

montrons que c'est le minimum si   r <h   alors    pi r <  pi *h

                                                                              pi r*r² < pi *h*r²

pi*r^3 <  V  donc   S' (r)<0  et de même si  r>h    pir^3 >V

donc  la dérivée est négative puis positive; elle a un minimum  pour pir^3=V 

c'est à dire   r=h