Question
bonjour, j'ai un ex mais je ne comprend pas du tout, j'aimerai avoir de l'aide pour pouvoir le commencer, voici l'énoncé :
Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle. Son prix est à fixer entre 150 et 800euros.
Une étude de marché a permis d'estimer que le nombre de personnes disposées à acheter ce modèle au prix unitaire x(en euros) est :
N(x) = -0,7x + 588 , pour x appartenant à [ 150 ; 800 ].
1.a) Justifier que le chiffre d'affaires R(x) , en euros, en fonction du prix x du modèle est donné par :
R(x) = -0,7x² + 588x , pour x appartenant ) [150 ; 800].
b. Pour ce modèle de lunettes, les frais fixes de fabrication sont de 10 000euros, les frais variables de fabrication sont de 150euros par monture.
Justifier que le coût total C(x) de fabrication des montures, en euros, est fonction du prix unitaire x du modèle :
C(x) = - 105x + 98200 , pour x appartenant [150 ; 800].
c. En déduire l'expression du bénéfice algébrique B(x) dégagé par la vente de montures au prix unitaire x.
2. Résoudre l'inéquation B(x) > ou = 0. Arrondir au centime près. Interpréter le résultat.
3. Résoudre l'équation B(x) = 67 000.
En déduire l'abscisse du sommet de la parabole représentant B. Quel est le prix de vente de la monture; arrondi au centime près , pour lequel le bénéfice est maximal ?
Voilà, je voudrai de l'aide pour débuter ce exo car je n'y arrive pas et ça me bloque pour tout le reste. Merci d'avance!
Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle. Son prix est à fixer entre 150 et 800euros.
Une étude de marché a permis d'estimer que le nombre de personnes disposées à acheter ce modèle au prix unitaire x(en euros) est :
N(x) = -0,7x + 588 , pour x appartenant à [ 150 ; 800 ].
1.a) Justifier que le chiffre d'affaires R(x) , en euros, en fonction du prix x du modèle est donné par :
R(x) = -0,7x² + 588x , pour x appartenant ) [150 ; 800].
b. Pour ce modèle de lunettes, les frais fixes de fabrication sont de 10 000euros, les frais variables de fabrication sont de 150euros par monture.
Justifier que le coût total C(x) de fabrication des montures, en euros, est fonction du prix unitaire x du modèle :
C(x) = - 105x + 98200 , pour x appartenant [150 ; 800].
c. En déduire l'expression du bénéfice algébrique B(x) dégagé par la vente de montures au prix unitaire x.
2. Résoudre l'inéquation B(x) > ou = 0. Arrondir au centime près. Interpréter le résultat.
3. Résoudre l'équation B(x) = 67 000.
En déduire l'abscisse du sommet de la parabole représentant B. Quel est le prix de vente de la monture; arrondi au centime près , pour lequel le bénéfice est maximal ?
Voilà, je voudrai de l'aide pour débuter ce exo car je n'y arrive pas et ça me bloque pour tout le reste. Merci d'avance!
Asked by: USER1883
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Bonjour Birungi798
1) a) On sait que x est exprimé en euros.
Si un seul modèle est vendu x et qu'Il en a vendu -0,7x+588, alors son revenu est égal à R(x) = x(-0,7x + 588)
R(x) = -0,7x² + 588x.
b) Les frais variables sont de 150 euros par monture.
Puisqu'il y a -0,7x + 588 montures, les frais variables totaux sont égaux à 150(-0,7x + 588) = -105x + 88 200.
A ces frais variables, il faut ajouter les frais fixes de 10 000 euros.
D'où le coût total C(x) = (-105x + 88200) + 10000.
C(x) = -105x + 98 200.
c) Le bénéfice B(x) se calcule par : B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = (-0,7x² + 588x) - (-105x + 98 200)
B(x) = -0,7x² + 588x + 105x - 98 200)
B(x) = -0.7x² + 693x - 98200
2. Résoudre l'inéquation B(x) > ou = 0. Arrondir au centime près. Interpréter le résultat.
-0.7x² + 693x - 98200 ≥ 0
Tableau de signes de -0.7x² + 693x - 98200
Racines : environ 171,37 et environ 818,63
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&171,37&&818,63&&+\infty \\ -0.7x^2 + 693x - 98200&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Or x ∈ [150 ; 800]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&150&&171,37&&800\\ -0.7x^2 + 693x - 98200&&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\boxed{B(x)\ge 0\ \ si\ \ x\in[171,37\ ;\ 800]}[/tex]
Par conséquent,
le marché sera rentable si le prix d'une monture est compris entre 171,37 € et 800 €.
3. Résoudre l'équation B(x) = 67 000.
En déduire l'abscisse du sommet de la parabole représentant B. Quel est le prix de vente de la monture; arrondi au centime près , pour lequel le bénéfice est maximal ?
[tex]B(x)=67000\\\\-0,7x^2+693x-98200=67000\\\\-0,7x^2+693x-165200=0\\\\\Delta=17689=133^2\\\\x_1=\dfrac{-693-\sqrt{17689}}{-1,4}=\dfrac{-693-133}{-1,4}=590\\\\x_2=\dfrac{-693+\sqrt{17689}}{-1,4}=\dfrac{-693+133}{-1,4}=400\\\\\boxed{S=\{400\ ;\ 590\}}[/tex]
L'abscisse du sommet de la parabole représentant B se trouve au milieu de [tex][x_1\ ;\ x_2][/tex], soit [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{400+590}{2}=495[/tex]
L'abscisse du sommet de la parabole représentant B est égale à 495.
Par conséquent,
le prix de vente de la monture pour lequel le bénéfice est maximal est de 495 €.
1) a) On sait que x est exprimé en euros.
Si un seul modèle est vendu x et qu'Il en a vendu -0,7x+588, alors son revenu est égal à R(x) = x(-0,7x + 588)
R(x) = -0,7x² + 588x.
b) Les frais variables sont de 150 euros par monture.
Puisqu'il y a -0,7x + 588 montures, les frais variables totaux sont égaux à 150(-0,7x + 588) = -105x + 88 200.
A ces frais variables, il faut ajouter les frais fixes de 10 000 euros.
D'où le coût total C(x) = (-105x + 88200) + 10000.
C(x) = -105x + 98 200.
c) Le bénéfice B(x) se calcule par : B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = (-0,7x² + 588x) - (-105x + 98 200)
B(x) = -0,7x² + 588x + 105x - 98 200)
B(x) = -0.7x² + 693x - 98200
2. Résoudre l'inéquation B(x) > ou = 0. Arrondir au centime près. Interpréter le résultat.
-0.7x² + 693x - 98200 ≥ 0
Tableau de signes de -0.7x² + 693x - 98200
Racines : environ 171,37 et environ 818,63
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&171,37&&818,63&&+\infty \\ -0.7x^2 + 693x - 98200&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Or x ∈ [150 ; 800]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&150&&171,37&&800\\ -0.7x^2 + 693x - 98200&&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\boxed{B(x)\ge 0\ \ si\ \ x\in[171,37\ ;\ 800]}[/tex]
Par conséquent,
le marché sera rentable si le prix d'une monture est compris entre 171,37 € et 800 €.
3. Résoudre l'équation B(x) = 67 000.
En déduire l'abscisse du sommet de la parabole représentant B. Quel est le prix de vente de la monture; arrondi au centime près , pour lequel le bénéfice est maximal ?
[tex]B(x)=67000\\\\-0,7x^2+693x-98200=67000\\\\-0,7x^2+693x-165200=0\\\\\Delta=17689=133^2\\\\x_1=\dfrac{-693-\sqrt{17689}}{-1,4}=\dfrac{-693-133}{-1,4}=590\\\\x_2=\dfrac{-693+\sqrt{17689}}{-1,4}=\dfrac{-693+133}{-1,4}=400\\\\\boxed{S=\{400\ ;\ 590\}}[/tex]
L'abscisse du sommet de la parabole représentant B se trouve au milieu de [tex][x_1\ ;\ x_2][/tex], soit [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{400+590}{2}=495[/tex]
L'abscisse du sommet de la parabole représentant B est égale à 495.
Par conséquent,
le prix de vente de la monture pour lequel le bénéfice est maximal est de 495 €.