montrer que
cosx x sinx = tan x / 1+tan x​

Pour démontrer que \(\cos(x) \times \sin(x) = \frac{\tan(x)}{1+\tan(x)}\), nous allons utiliser les identités trigonométriques suivantes :

1. \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
2. \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)

Commençons par l'expression de gauche : \(\cos(x) \times \sin(x)\).

Nous savons que \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), donc \(\sin(x) = \tan(x) \times \cos(x)\).

En remplaçant \(\sin(x)\) dans l'expression de gauche, nous obtenons :
\[
\cos(x) \times \sin(x) = \cos(x) \times (\tan(x) \times \cos(x)) = \tan(x) \times \cos^2(x)
\]

Maintenant, passons à l'expression de droite : \(\frac{\tan(x)}{1+\tan(x)}\).

Si nous remplaçons \(\tan(x)\) par \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), nous obtenons :
\[
\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1 + \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = \frac{\sin(x)}{\cos(x) + \sin(x)}
\]

Nous allons maintenant multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\cos(x)\) pour rationaliser le dénominateur :
\[
= \frac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos^2(x) + \sin(x) \times \cos(x)}
\]

En utilisant l'identité trigonométrique \(\sin(x) \times \cos(x) = \cos(x) \times \sin(x)\), nous obtenons :
\[
= \frac{\tan(x) \times \cos^2(x)}{\cos^2(x) + \sin(x) \times \cos(x)} = \frac{\tan(x) \times \cos^2(x)}{\cos^2(x) + \sin^2(x)}
\]

Puisque \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\), nous avons :
\[
= \frac{\tan(x) \times \cos^2(x)}{1}
\]

Cela simplifie à :
\[
= \tan(x) \times \cos^2(x)
\]

Nous remarquons que cette expression est identique à celle de l'expression de gauche. Ainsi, nous avons montré que \(\cos(x) \times \sin(x) = \frac{\tan(x)}{1+\tan(x)}\).