Question
On considère un rec-
tangle (en vert) de lon-
gueur L et de largeur / au
départ entières et com-
prises entre 1 et 10 cm.
Le problème consiste
à trouver tous les rec-
tangles verts tels que si
on augmente son périmètre de 20 % (en ajoutant la
même valeur x à sa longueur et à sa largeur) alors son
aire augmentera d'au moins 110 %.
1. Construire un exemple et vérifier si la longueur et la
largeur satisfont les contraintes du problème.
2. a. Exprimer x en fonction de Let I pour que le péri-
mètre du grand rectangle augmente de 20 % par rap-
port au rectangle vert.
b. Montrer alors que le taux d'évolution (en pourcen-
tage) entre l'aire du rectangle vert et le grand rec-
tangle est égal à :
for 1 in range():
for L in range(
(L+ 1)²
LXI
11x
c. Compléter le programme Python pour qu'il affiche
les solutions du problème.
X
):
aire = L*1 #aire rectangle vert
X=
aire2 = (L+x)*(1+x) #aire grand rectangle
evol =
if evol
:
print(1, L, evol)
<<<
d. Le programme affiche les lignes suivantes.
1 8 111.375
1 9 122.22222222222223
1 10 133.1
Retrouver la valeur exacte du nombre situé à la
deuxième ligne.
Answer (500)
Réponse :
Explications étape par étape :
■ BONJOUR Malpoli !
■ Longueur et largeur = L et l
Périmètre = 2 ( L + l )
Aire = L * largeur
■ Rectangle augmenté :
Périmètre augmenté = P ' = 2 ( L + l + 2x ) = 2P + 4x
on veut 4x / P = 0,2o donc 4x = 0,2 P
d' où x = 0,05 P
x = 0,1 ( L + l ) .
Aire augmentée = (L + x) * (l + x) = L*l + Lx + lx + x²
= A + 0,1L² + 0,2Ll + 0,1l² + x²
= A + 0,11 (L + l)²
on veut aussi 0,11(L+l)² > 1,1 A
0,11(L+l)² > 1,1 Ll
(L+l)² > 10 Ll
L² - 8Ll + l² > 0
posons largeur = k * L ( avec k < 1 ) :
L² - 8kL² + k²L² > 0
1 - 8k + k² > 0
il faut donc k < 0,127 .
( la valeur précise de k est 4 - √15 )
■ conclusion :
Longueur choisie --> largeur = 0,12 L par exemple ( car 0,12 < 0,127 )
Périm = 2,24 L
Aire = 0,12 L²
Longueur augmentée = 1,112 L
largeur augmentée = 0,232 L
Périm augmenté = 2,688 L ( augmentation de 20% )
Aire augmentée ≈ 0,258 L² ≈ 2,15 A
( soit une augmentation proche de 115% ! )